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有限元分析的基本知识 (一份培训资料) (2)  

2010-07-20 06:39:51|  分类: CAE 一般 |  标签: |举报 |字号 订阅

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   二 有限元分析的基本过程
 1  单元
           有限元 - 连续体的离散化,将整体结构分割为若干基本单元,每个单元有若干节点。单元中的基本物理量 (结构分析 - 位移;热分析 - 温度;电磁分析 - 电位势,磁通量;流体分析 - 流量,等) 用单元节点处的值表示,可以写为:
             {u} = [P] {ue}
     其中:
           {u} - 单元中任意点的物理量值,它是坐标的函数:
                       {u} = {u (x,y,z)}
           [P] - 形状函数,与单元形状、节点坐标和节点自由度等有关
          {ue} - 单元节点的物理量值;对于结构位移法可以是位移、转
                    角或其对坐标的导数。
           常用的大型分析软件中基本上是位移+转角。     
结构分析时一些常用单元的节点自由度 (在单元坐标系中)
     杆元:单元形状为线段,变形形式为拉伸和扭转。
         在单元坐标系中:
                节点自由度为 Tx 和 Rx,其中 x  为杆的轴线。
         在总体坐标系中:
                三个位移和三个转角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3)。
    梁元:单元形状为线段,变形形式为拉伸、扭转,以及两个垂
            直于轴线方向的弯曲
         在单元坐标系中:
                节点自由度为 Tx,Ty,Tz,Rx,Ry,Rz。其中 x  为梁的
                轴线,Y,z 为梁截面的两个抗弯惯矩主轴方向。
         在总体坐标系中:
                三个位移和三个转角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3)。 
   平面单元:三角形或四边形,变形为两个面内位移。
              节点自由度为 T1,T2。单元坐标系与总体坐标系一致。
   轴对称单元:三角形或四边形,变形为两个面内位移。
              节点自由度为 T1,T2。单元坐标系与总体坐标系一致。 
   板壳元:三角形或四边形,变形包括两个面内位移,法向位移
                  及两个转角 (一般缺少绕法线转角)。
             在单元坐标系中:
                 三个位移和三个转角 (Tx,Ty,Tz,Rx,Ry)
             在总体坐标系中:
                 三个位移和三个转角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3)
 三维实体:四面体~六面体,三个方向的位移,无转角。
            节点自由度为三个位移  (T1,T2,T3),单元坐标系与总
        体坐标系一致。                
 

 结构分析时一些特殊单元
            为了表征结构分析中遇到的一些特殊现象,多数 CAE 软件中都引入了一些特殊的单元,例如:
            弹簧单元 - 模拟拉压或弯扭弹簧连接
            阻尼单元 - 模拟阻尼器等结构件
            质量单元 - 用于处理集中质量
            接触单元 - 用于处理接触非线性问题
            间隙单元 - 用于处理接触非线性问题
            拉索单元 - 用于模拟只受拉不受压的线结构
            各种连接单元 - 用于模拟结构件之间的不同连接方式,如
                             铰接、刚性连接等
            刚体单元 - 将结构的某一部分处理为刚体,可减小计算模
                              型的规模
            等


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单元形状函数举例  (未必是实际使用的单元):
(1) 一维单元
    a.  杆单元
     轴向拉伸和扭转:节点位移自由度为 Tx,Rx
        对 2 节点单元 (线性单元):
                   Tx = a0 + a1 * x
                   Rx = b0 + b1 * x
           各有 2 个未知数,可以由 2 个节点的位移值确定;
        对 3 节点单元 (二次单元):
                  Tx = a0 + a1 * x + a2 * x2
                  Rx = b0 + b1 * x + b2 * x2
           各有 3 个未知数,可以由 3 个节点的位移值确定; 
 
b. 梁单元
        拉伸和扭转的形状函数与杆的情况相同;
        对于弯曲变形 (以单元坐标系 y 向为例),2 节点单元相应的形状函数为:
             Ty = c0 + c1*x +c2*x2 + c3*x3
             由两个节点的 Ty,Rz 可以确定四个未知数;
       对于 3 节点单元:
             Ty = c0 + c1*x +c2*x2 + c3*x3 +c4*x4 + c5*x5
              由 3 个节点的 Ty,Rz 可以确定 6 个未知数; 
 
(2) 二维单元
    a.  平面单元 (平面问题,轴对称问题) ,以 Tx 为例
       三节点三角元:
                 Tx = a0 + a1*x + a2*y
           三个未知数可以由三个节点的 Tx 表示;
        6 节点三角元:
                 Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2
            6 个未知数可以由 6 个节点的 Tx 表示;
        4 节点四边形元:
                 Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*xy
            4 个未知数可以由 4 个节点的 Tx 表示;
        8 节点四边形元:
                 Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2
                         + a6*(x3 + xy2) + a7*(x2y + y3)
            8 个未知数可以由 8 个节点的 Tx 表示; 
 
上面使用的简单多项式,对于 4 节点或 8 节点四边形 (特别是使用简单多项式的 8 节点单元,三次项缺失较多),使用效果往往不好。
           实际使用的是 "等参数单元",通过曲线坐标变换,将任意三角形或四边形变换为等参数坐标系中的正三角形或正方形。然后用 “内插函数” 来构造形状函数。

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(2) 二维单元 (续)
    b.  弯曲单元 (板、壳问题)
         平面内的变形与平面问题相同,主要考虑法向弯曲变形 -  Tz,每个节点有三个弯曲自由度:Tz, Rx, Ry (法向位移和两个转角)。
         三节点三角元:
                 Tz = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2
                         + a6*x3 + a7*(x2y + xy2) + a8*y3
             9 个未知数可以由三个节点的 Tz, Rx, Ry 表示。
            这是一个不完整的三次多项式,实际使用的是完整的三次多项式,然后添加约束条件消除多出来的一个未知数。
          4 节点四边形元:
                  Tz = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2
                         + a6*x3 + a7*x2y + a8*xy2 + a9*y3 + 2 个四次项
              12 个未知数可以由四个节点的 Tz, Rx, Ry 表示。这是一个不完整的四次多项式,效果较差,实际使用的是 "等参数单元"。
             同样可以构造 "高阶" 单元 (6 节点三角元、8 节点四边形单元)。
 
(3) 三维实体单元
       每个节点三个自由度:Tx,Ty,Tz,一般情况,单元坐标系 x,y,z 与总体坐标系 X,Y,Z 相同。
     a. 四面体单元 (以 Tx 为例)
         4 节点单元:
             Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*z
         四个未知数由四个节点的 Tx 确定。
         10 节点单元 (增加 6 个边的中点):
             Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*z + a4*x2 + a5*y2 +
                     a6*z2 + a7*xy + a8*yz + a9*zx
         10个未知数由 10 个节点的 Tx 确定。   
 
    b. 六面体单元 (以 Tx 为例)
         8 节点单元 (直观的例子,实际用 "等参数单元"):
            Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*z + a4*x2 + a5*y2 +
                     a6*z2 + a7*(xy + yz + zx)
         8 个未知数由 8 个节点的 Tx 确定。
         20 节点六面体单元:
            使用完整的三次多项式,共 20 个未知数,由 20 个节点的 Tx 确定。实际中使用的是 "等参数单元"。
 
        理论上,计算结果应该随着网格的细化而收敛到精确值。但实践发现,单元的形状函数对其计算结果和收敛性有较大影响。经数学界研究发现,单元的构造必须满足相容性 (协调性) 和完备性要求,才能保证计算结果的收敛性。
    (1)   单元的完备性要求:
           对一般的多项式形式的单元形状函数,必须是与所解决问题的 "应变-位移" 关系式中的最高阶导数相同阶数的完整多项式。
           与 "应变-位移" 关系式中的最高阶导数相同阶数的多项式,在 "应变-位移" 关系式中微分后得到常应变项。因此,如果该多项式不完整,就会丢失某些常应变项,导致结果不准确。
           这一条可以归结为:位移函数必须包含全部刚体位移和常应变项。
 
   (2)  单元的相容性 (协调性) 要求:
           单元的位移函数必须包含所解决问题的 "应变-位移" 关系式中的最高阶导数低一阶的连续性。即,在相邻单元的边界上,该导数必须连续。
           如一般弹性问题 (平面问题、轴对称问题和三维弹性问题),其 “应变-位移” 关系式中只包括位移对坐标的一阶导数,只要求在单元边界上位移连续。因此其位移形状函数只要包含坐标的一次多项式即可 (Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*z ...)。
           对板弯曲问题,"应变-位移" 关系式包含位移对坐标的二次导数,在单元边界上需要位移和转角都连续,因而板弯曲单元的节点自由度至少需要三个自由度:Tz,Rx,Ry。这也造成了难以构造简单而又满意的板弯曲单元。
           在满足相容性 (协调性) 要求的情况下,随着网格的细化,结果是单调收敛的。如果只满足完备性,而不满足相容性 (如板弯曲问题),解有时也能收敛,但一般不是单调收敛。
 
2  单元特性的推导 (略)
  
3  单元组集
       将所有单元的应变能求和,得到整个结构的应变能:
           U = S Ue = 1/2 {u}T [K] {u}
        其中 {u} 是整个结构所有节点的总体位移自由度按顺序排列所成,称为结构位移矢量;[K] 是将各单元的刚度矩阵对应相同总体自由度的元素叠加后得到。

       考虑两个杆单元的情况 (下页图),各单元的节点位移矢量和单元刚度矩阵用总体自由度序号表示如下:

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       在计算整个结构的应变能时,将两个单元刚度矩阵中具有相同下标的元素进行求和,例如 K4,4 ~ K4,6、K5,4 ~ K5,6、K6,4 ~ K6,6,从而得到整个结构的刚度矩阵。

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如果单元中作用有外力,可以根据静力等效原理把它们分配到单元的节点上:

 

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        然后可以求出节点外力在节点位移上所做的功:
             V = [F] {u}
        其中 [F] 为所有节点的外力矢量 (每个节点三个分量),{u} 为所有节点的位移矢量 (每个节点三个分量)。
        然后,根据最小势能原理,真实位移应该使总势能取极小值:
           总势能为:
               P = U - V = 1/2 {u}T [K] {u} - [F] {u}
           对 {u} 取极值,即总势能对 {u} 的一次导数为零:

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      由此得到:
           [K] {u} - {F}  = 0
      或
           [K] {u} = {F} 
 
         这就是待求解的有限元代数方程。由于将复杂的微分方程转换为有限个数的代数方程,从而使问题的求解变得容易。
         不过,现在还不能马上求解,因为数学上已经证明,没有约束的结构的刚度矩阵是一个奇异矩阵 (行列式为零),从物理上来说,即存在刚体运动,及时很小的外力也能够造成无穷大的位移。为了求解,必须对结构施加足够的约束以消除所有可能的刚体运动。
          常用的约束条件有:
              指定节点位移 (通常是零);
              弹性约束 (弹性地基)
          等。
          缺乏足够的约束常常是求解失败的主要原因之一。
 
          在约束自由度上会产生约束反力,对于结构而言,约束反力也是一种外力,以 {R} 表示约束反力,整个结构的方程可以写成:
                  [K] {u} = {F} + {R}
          其中反力 {R} 仅在约束自由度上不为零。
          对整个结构的位移自由度重新排序,将已知位移自由度放到最后,分别以下标 f 和 r 代表未知和已知的自由度,则有:

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       展开后分解为两个方程:
           [Kff] {uf} = {Ff}
           [Krf] {uf} + [Krr] {ur}  = {Fr} + {R}
       第一个方程用来求解未知的位移自由度,第二个方程改写为:
           {R} = {Fr} - [Krf] {uf} - [Krr] {ur}
        用来计算约束反力。
        在求出整个结构的节点位移后,可以回到各单元,计算单元的应力、应变等其它所需的物理量 (通常称为数据恢复)。至于节点应力、应变等物理量,通常用与节点相邻的单元的平均值代表。

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