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动力分析中的几个概念  

2010-11-07 08:48:21|  分类: ANSYS 动力分析 |  标签: |举报 |字号 订阅

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   这是为一个客户编写的,对动力分析中几个概念的说明,发在此处与大家分享。
   在用 NX Nastran 进行常规模态分析时,可以通过情况控制段的 EFFMAS 语句,输出:
     模态参与因子 (MODAL PARTICIPATION FACTORS)
     模态有效质量 (MODAL EFFECTIVE MASS)
     模态有效重量 (MODAL EFFECTIVE WEIGHT)
     A 集的刚体质量矩阵 (A-SET RIGID BODY MASS MATRIX)
     模态有效质量比 (MODAL EFFECTIVE MASS FRACTION)
     总有效质量比 (TOTAL EFFECTIVE MASS FRACTION)
     有效质量矩阵 (EFFECTIVE MASS MATRIX)
   等,下面简单介绍这些输出项的概念。

   1. 模态参与因子 (MODAL PARTICIPATION FACTORS)
      又叫 modal amplitude vector (模态幅值矢量),反映了各阶模态对指定方向上的激励的响应幅值。
      每一阶模态都有 6 个参与因子,分别对应 6 个运动自由度 (三个平移和三个转动)。其定义如下:
        第 i 阶模态 {fi在方向 r 上的参与因子 yir 为:
          yir = {fi}T [M] {Dr}
        其中:
         {fi} 为按质量矩阵 [M] 规范化的第 i 阶模态矢量:
             {fi}T [M] {fi} = 1.0
         {Dr} 为 r 方向的刚体运动矢量。计算公式如下:
           {Dr} = [T] {er}
        其中 {er} 为 r 方向的单位矢量,[T] 矩阵定义为:
          动力分析中的几个概念 - htbbzzg - htbbzzg的博客

            X,Y,Z 为激励点的坐标, X0,Y0,Z0 为参考点的坐标,默认为总体坐标系原点。

      以下是某算例的参与因子计算结果:
                               MODAL PARTICIPATION FACTORS
            MODE     FREQUENCY             T1                   T2                     T3                     R1                      R2                    R3
               NO.
                 1    2.861186E+01     -8.795730E-08     -5.082796E-03     -9.134032E-05      1.010349E+00     -1.749585E-05     -4.764895E-08
                 2    2.864453E+01      5.084301E-03     -8.793346E-08     -1.580094E-09      1.747962E-05      1.011386E+00      2.753281E-03
                 3    1.197218E+02     -1.585081E-03      5.717050E-11     -9.620369E-12     -4.761349E-08     -1.235678E+00      1.577912E-02
                 4    1.211750E+02     -6.437195E-11     -1.618020E-03      2.451859E-04      1.257209E+00    -4.902394E-08       6.084249E-10
                 5    3.024912E+02      1.821071E-03      2.228913E-11     -2.049200E-12     -1.861566E-08      1.497531E+00       4.275195E-02
            TOTAL                            5.320203E-03     -6.700904E-03      1.538440E-04      2.267576E+00     1.273221E+00       6.128430E-02 

    2. 模态有效质量 (MODAL EFFECTIVE MASS)
      与模态参与因子类似,每一阶模态都有 6 个有效质量,分别对应 6 个自由度。其值为对应参与因子的平方。
      第 i 个模态在 r 方向上的的有效质量为:
          mir yir^2 

      如下是同一算例的模态有效质量结果
                               MODAL EFFECTIVE MASS
           MODE     FREQUENCY               T1                     T2                      T3                       R1                       R2                      R3
              NO.
               1       2.861186E+01      7.736487E-15      2.583481E-05      8.343053E-09      1.020806E+00      3.061047E-10      2.270423E-15
               2       2.864453E+01      2.585012E-05      7.732293E-15      2.496696E-18      3.055370E-10      1.022901E+00      7.580554E-06
               3       1.197218E+02      2.512480E-06      3.268466E-21      9.255148E-23      2.267045E-15      1.526899E+00      2.489806E-04
               4       1.211750E+02      4.143748E-21      2.617989E-06      6.011614E-08      1.580574E+00      2.403347E-15      3.701809E-19
               5       3.024912E+02      3.316299E-06      4.968052E-22      4.199222E-24      3.465428E-16       2.242598E+00     1.827729E-03
          TOTAL                               3.167890E-05      2.845280E-05      6.845919E-08      2.601380E+00      4.792399E+00     2.076710E-03

      与模态参与因子比较,例如对一阶频率有:
      T1:   7.736487E-15 = (-8.795730E-08)^2
      T2:   2.583481E-5  = (-5.082796E-03)^2

      3. 模态有效重量 (MODAL EFFECTIVE WEIGHT)
      模态有效重量为模态有效质量乘以重力加速度值。该值由参数语句 PARAM,WTMASS 所定义,默认值为 1.0。
      如下是同一算例的模态有效重量输出结果
                               MODAL EFFECTIVE WEIGHT 
               MODE     FREQUENCY               T1                    T2                    T3                        R1                    R2                      R3
                 NO.
                   1    2.861186E+01      7.736487E-15      2.583481E-05      8.343053E-09      1.020806E+00      3.061047E-10      2.270423E-15
                   2    2.864453E+01      2.585012E-05      7.732293E-15      2.496696E-18      3.055370E-10      1.022901E+00      7.580554E-06
                   3    1.197218E+02      2.512480E-06      3.268466E-21      9.255148E-23      2.267045E-15      1.526899E+00      2.489806E-04
                   4    1.211750E+02      4.143748E-21      2.617989E-06      6.011614E-08      1.580574E+00      2.403347E-15      3.701809E-19
                   5    3.024912E+02      3.316299E-06      4.968052E-22      4.199222E-24      3.465428E-16      2.242598E+00      1.827729E-03
              TOTAL                           3.167890E-05      2.845280E-05      6.845919E-08      2.601380E+00      4.792399E+00      2.076710E-03

       由于没有使用相应的参数语句,即默认重力加速度为 1,因此有效重量数据与有效质量相同。

     4. A 集的刚体质量矩阵 (A-SET RIGID BODY MASS MATRIX)
     将 a 集自由度当作一个自由整体,它也有 6 个刚体运动。
     将 a 集 分割为 l 集和 r 集,其中 r 集代表刚体运动模式:
                 动力分析中的几个概念 - htbbzzg - htbbzzg的博客
      同样对求解方程进行分割:
                动力分析中的几个概念 - htbbzzg - htbbzzg的博客
 
     不考虑载荷,以 ur 表示 ul 
                  动力分析中的几个概念 - htbbzzg - htbbzzg的博客
       矩阵 [D] 用于构造刚体矢量集:
                    动力分析中的几个概念 - htbbzzg - htbbzzg的博客
      它代表 a 集在每个刚体运动方向的单位位移 (同时其它刚体自由度被约束)。
      [Ir] 为单位矩阵,即只有对角线为 1,其余为零。
      然后可以定义 a 集的刚体质量矩阵为:
                   动力分析中的几个概念 - htbbzzg - htbbzzg的博客
     以下为同一算例的 a 集的刚体质量矩阵结果:
                                                     A-SET RIGID BODY MASS MATRIX
                       ***                                                                                  ***
                       *   3.560000E-05  0.000000E+00 -1.247613E-22 -7.972789E-22  1.358000E-02  9.600000E-05 *
                       *   0.000000E+00  3.560000E-05 -8.908043E-39 -1.358000E-02  1.377532E-38 -2.095083E-20 *
                       *  -1.247613E-22 -8.908043E-39  3.560000E-05 -9.600000E-05  2.137435E-20  7.972789E-22 *
                       *  -7.972789E-22 -1.358000E-02 -9.600000E-05  8.392656E+00 -2.096407E-19  1.227859E-17 *
                       *   1.358000E-02  1.377532E-38  3.557538E-20 -3.947174E-19  8.389297E+00  7.580000E-02 *
                       *   9.600000E-05 -3.472835E-20  7.972789E-22  1.409463E-17  7.580000E-02  3.953333E-03 *
                       ***                                                                                  *** 

     5. 模态有效质量比 (MODAL EFFECTIVE MASS FRACTION)
     第 i 阶模态在 r 方向的有效质量比定义为该有效质量与 A 集的刚体质量矩阵相应的对角线元素之比。
     分析各阶模态的有效质量比,可以确定各阶模态对于不同方向振动的重要程度。
     以下为同一算例的模态有效质量比结果 (平移自由度部分): 
                                                    MODAL EFFECTIVE MASS FRACTION
             MODE    FREQUENCY                          T1                                               T2                                               T3
              NO.                               FRACTION            SUM                  FRACTION            SUM                 FRACTION            SUM
                1    2.861186E+01      2.173171E-10      2.173171E-10      7.256970E-01      7.256970E-01      2.343554E-04      2.343554E-04
                2    2.864453E+01      7.261268E-01      7.261268E-01      2.171992E-10      7.256970E-01      7.013192E-14      2.343554E-04
                3    1.197218E+02      7.057528E-02      7.967021E-01      9.181085E-17      7.256970E-01      2.599761E-18      2.343554E-04
                4    1.211750E+02      1.163974E-16      7.967021E-01      7.353902E-02      7.992361E-01      1.688656E-03      1.923011E-03
                5    3.024912E+02      9.315445E-02      8.898566E-01      1.395520E-17      7.992361E-01      1.179557E-19      1.923011E-03 

   注意:在模态有效质量比结果中,对每一个自由度均有 SUM 列,它是该自由度对不同模态有效质量比的累加结果。

   以下为同一算例的模态有效质量比结果 (转动自由度部分):
MODAL EFFECTIVE MASS FRACTION
                MODE    FREQUENCY                          R1                                             R2                                               R3
                 NO.                               FRACTION            SUM                 FRACTION            SUM                   FRACTION            SUM
                  1    2.861186E+01      1.216309E-01      1.216309E-01      3.648753E-11      3.648753E-11      5.743059E-13      5.743059E-13
                  2    2.864453E+01      3.640528E-11      1.216309E-01      1.219293E-01      1.219293E-01      1.917509E-03      1.917509E-03
                  3    1.197218E+02      2.701224E-16      1.216309E-01      1.820056E-01      3.039349E-01      6.297991E-02      6.489742E-02
                  4    1.211750E+02      1.883282E-01      3.099591E-01      2.864777E-16      3.039349E-01      9.363767E-17      6.489742E-02
                  5    3.024912E+02      4.129120E-17      3.099591E-01      2.673166E-01      5.712516E-01      4.623260E-01      5.272235E-01 

     对照模态有效质量和 a 集的刚体质量矩阵,例如对一阶模态:
         T1:  7.736487E-15 / 3.56E-5 = 2.173171E-10
         T2:  2.583481E-05 / 3.56E-5 = 7.256970E-01
         T3:  8.343053E-09 / 3.56E-5 = 2.343554E-04
     等。

    6. 总有效质量比 (TOTAL EFFECTIVE MASS FRACTION)
    对 6 个自由度,分别将各阶模态的有效质量比求和,就得到总有效质量比。总有效质量比越接近于 1.0,则说明所计算的模态个数越能反映整个结构的振动响应特性。一般情况,在激励方向上的总有效质量比最好在 0.95 以上。如果总有效质量比较小,需要增加抽取的模态个数或激活残余矢量选项:
           PARAM,RESVEC,YES
    以下是同一模型的总有效质量比结果:
                         TOTAL EFFECTIVE MASS FRACTION
                     REFERENCE POINT AT ORIGIN OF BASIC COORDINATE SYSTEM
       T1                T2                T3                R1                R2                R3
    8.898566E-01      7.992361E-01      1.923011E-03      3.099591E-01      5.712516E-01      5.272235E-01

    对照模态有效质量比结果,可以看到,对每一个自由度的总有效质量比正是它在模态有效质量的 SUM 列的最后一个模态的结果。

    7. 有效质量矩阵  (EFFECTIVE MASS MATRIX)
    每一阶模态都有 6 个参与因子 yir (r = 1 ~ 6),可以写为矩阵形式,以 {yi} 表示第 i 阶模态的参与因子矢量。进一步,将所有模态的参与因子矢量按行排列,可以得到参与因子矩阵:
                      动力分析中的几个概念 - htbbzzg - htbbzzg的博客
    这是一个 N×6 阶的矩阵,其中 N 是模态个数。
    有效质量矩阵的定义为:
            [Mef] = [y]T [m] [y]     
    其中 [m] 为广义质量矩阵。由于模态向量是对质量矩阵规范化的,因而理论上广义质量矩阵应该是一个单位矩阵,这样有效质量矩阵应该是各阶模态的参与因子乘积之和,即:

        Mef,lm =  S  y il y im   (l = 1,6; m = 1,6)
                i=1,N
    可以看到,有效质量矩阵的对角线项与 a 集的刚体质量矩阵对角线项之比,应该等于响应的总有效质量比。
    以下为同一例题的有效质量矩阵结果:
 EFFECTIVE MASS MATRIX  
                       ***                                                                                  ***
                       *   3.167890E-05  4.297087E-14 -3.890005E-15 -3.533225E-11  9.827948E-03  6.684165E-05 *
                       *   4.297087E-14  2.845280E-05  6.754843E-08 -7.169589E-03  3.522667E-11  9.549807E-13 *
                       *  -3.890005E-15  6.754843E-08  6.845919E-08  2.159643E-04 -3.209151E-12 -8.840188E-14 *
                       *  -3.533225E-11 -7.169589E-03  2.159643E-04  2.601380E+00 -2.895861E-08 -7.980390E-10 *
                       *   9.827948E-03  3.522667E-11 -3.209151E-12 -2.895861E-08  4.792399E+00  4.730908E-02 *
                       *   6.684165E-05  9.549807E-13 -8.840188E-14 -7.980390E-10  4.730908E-02  2.084290E-03 *
                       ***                                                                                  *** 
    对照 a 集的刚体质量矩阵和总有效质量比:可以看到,有效质量矩阵的对角线项与 a 集的刚体质量矩阵的对角线项之比,确实等于相应应的总有效质量比。例如:
          1 行 1 列: 3.167890E-05 / 3.560000E-05 = 8.898566E-01
          3 行 3 列: 6.845919E-08 / 3.560000E-05 = 1.923011E-03
          6 行 6 列: 2.084290E-03 / 3.953333E-03 = 5.272235E-01

    参考资料
      1. Nastran: Advdyn.pdf
      2. Nastran: Dmap.dpf
      3. Nastran: qrg.pdf
      4. Ansys: Ansyshelp.chm 
    介绍到此结束,如有解释不当之处,请大家协助纠正。
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